今天和朋友聊天，聊到了KM，今天Xushine研究院就和大家讨论下KM算法~

先来看看KM的算法描述：

KM算法求的是完备匹配下的最大权匹配： 在一个二分图内，左顶点为X，右顶点为Y，现对于每组左右连接XiYj有权wij，求一种匹配使得所有wij的和最大。

再来看看基本原理~

该算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点Xi的顶标为A[ i ]，顶点Yj的顶标为B[ j ]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

KM算法的正确性基于以下定理：

若由二分图中所有满足A[ i ]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配，那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

看着KM的算法还是蛮简单的~

但是值得注意的是，这个简单的KM算法在我们的ACM比赛中会经常的用到~

下面我先贴一个模板~

/*其实在求最大 最小的时候只要用一个模板就行了,把边的权值去相反数即可得到另外一个.求结果的时候再去相反数即可*/
/*最大最小有一些地方不同。。*/
#include <iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
//赤裸裸的模板啊。。
const int maxn = 101;
const int INF = (1<<31)-1;
int w[maxn][maxn];
int lx[maxn],ly[maxn]; //顶标
int linky[maxn];
int visx[maxn],visy[maxn];
int slack[maxn];
int nx,ny;
bool find(int x)
{
    visx[x] = true;
    for(int y = 0; y < ny; y++)
    {
        if(visy[y])
            continue;
        int t = lx[x] + ly[y] – w[x][y];
        if(t==0)
        {
            visy[y] = true;
            if(linky[y]==-1 || find(linky[y]))
            {
                linky[y] = x;
                return true;        //找到增广轨
            }
        }
        else if(slack[y] > t)
            slack[y] = t;
    }
    return false;                   //没有找到增广轨（说明顶点x没有对应的匹配，与完备匹配(相等子图的完备匹配)不符）
}

int KM()                //返回最优匹配的值
{
    int i,j;

    memset(linky,-1,sizeof(linky));
    memset(ly,0,sizeof(ly));
    for(i = 0; i < nx; i++)
        for(j = 0,lx[i] = -INF; j < ny; j++)
            if(w[i][j] > lx[i])
                lx[i] = w[i][j];
    for(int x = 0; x < nx; x++)
    {
        for(i = 0; i < ny; i++)
            slack[i] = INF;
        while(true)
        {
            memset(visx,0,sizeof(visx));
            memset(visy,0,sizeof(visy));
            if(find(x))                     //找到增广轨，退出
                break;
            int d = INF;
            for(i = 0; i < ny; i++)          //没找到，对l做调整(这会增加相等子图的边)，重新找
            {
                if(!visy[i] && d > slack[i])
                    d = slack[i];
            }
            for(i = 0; i < nx; i++)
            {
                if(visx[i])
                    lx[i] -= d;
            }
            for(i = 0; i < ny; i++)
            {
                if(visy[i])
                     ly[i] += d;
                else
                     slack[i] -= d;
            }
        }
    }
    int result = 0;
    for(i = 0; i < ny; i++)
    if(linky[i]>-1)
        result += w[linky[i]][i];
    return result;
}

int main()
{
   // freopen("g:/1.txt","r",stdin);
    while(true)
    {
        scanf("%d%d",&nx,&ny);
        int a,b,c;
        while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),a+b+c)
        {
            w[a][b]=c;
        }
        printf("%d\\n",KM());
        break;
    }
    return 0;
}

 

下面我们用一道题目来实现 本题是HUDA的1853~~

题目地址如下：

我们先简单的分析下本道题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1853

如果要保证图有环，并且环之间没有交点的话，那么必然每个点的出度和入度都应为1，因此我们可以把一个点拆成两个点，分别表示出度及入度，然后去找拆点后构成的二分图的完美匹配。

AC代码如下：

/*其实在求最大 最小的时候只要用一个模板就行了,把边的权值去相反数即可得到另外一个.求结果的时候再去相反数即可*/
/*最大最小有一些地方不同。。*/
#include <iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
int n,m;
const int maxn = 105;
const int INF = 0xffffff;

int w[maxn][maxn];
int lx[maxn],ly[maxn]; //顶标
int linky[maxn];
int visx[maxn],visy[maxn];
int slack[maxn];

bool find(int x)
{
    visx[x] = true;
    for(int y = 1; y <=n; y++)
    {
        if(visy[y])
            continue;
        int t = lx[x] + ly[y] – w[x][y];
        if(t==0)
        {
            visy[y] = true;
            if(linky[y]==-1 || find(linky[y]))
            {
                linky[y] = x;
                return true;        //找到增广轨
            }
        }
        else if(slack[y] > t)
            slack[y] = t;
    }
    return false;                   //没有找到增广轨（说明顶点x没有对应的匹配，与完备匹配(相等子图的完备匹配)不符）
}

int KM()                //返回最优匹配的值
{
    int i,j;
    memset(linky,-1,sizeof(linky));
    memset(ly,0,sizeof(ly));
    for(i = 1; i <=n; i++)
    {
        lx[i] = -INF;
         for(j = 1; j <=n; j++)
            if(w[i][j] > lx[i])
                lx[i] = w[i][j];
    }

    for(int x = 1; x <=n; x++)
    {
        for(i = 1; i <=n; i++)
            slack[i] = INF;
        while(true)
        {
            memset(visx,0,sizeof(visx));
            memset(visy,0,sizeof(visy));
            if(find(x))                     //找到增广轨，退出
                break;
            int d = INF;
            for(i = 1; i <=n; i++)          //没找到，对l做调整(这会增加相等子图的边)，重新找
            {
                if(!visy[i] && d > slack[i])
                    d = slack[i];
            }
            for(i = 1; i <=n; i++)
            {
                if(visx[i])
                    lx[i] -= d;
            }
            for(i = 1; i <=n; i++)
            {
                if(visy[i])
                     ly[i] += d;
                else
                    slack[i] -= d;
            }
        }
    }
    int result = 0 ;
    for(i = 1; i <=n; i++)
    {
        if(linky[i]==-1||w[linky[i]][i]==-INF)
        return 1;
        else    result += w[linky[i]][i];
    }
    return result;
}

int main()
{
   // freopen("g:/1.txt","r",stdin);

    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            w[i][j]=-INF;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
           int a,b,c;
           scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
           if(-c>w[a][b])
           w[a][b]=-c;
        }
        printf("%d\\n",-KM());
    }
    return 0;
}

5 对 “科普~KM算法”的想法；

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